Гіпотеза Ферма — Каталана

Гіпотеза Ферма Каталана — теоретико-числова гіпотеза, яка узагальнює велику теорему Ферма і гіпотезу Каталана. Вона стверджує, що рівняння

$a^{m}+b^{n}=c^{k}$

має не більше ніж скінченне число розв'язків $a,b,c,m,n,k$ з різними трійками значень $a^{m},b^{n},c^{k}$, де $a,b,c$ — взаємно прості натуральні числа, а $m,n,k$ — натуральні числа, що задовольняють співвідношенню

${\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1.$

Відомі розв'язки

На 2014-й рік відомо всього 10 розв'язків цього рівняння:

$1^{m}+2^{3}=3^{2}$

$2^{5}+7^{2}=3^{4}$

$13^{2}+7^{3}=2^{9}$

$2^{7}+17^{3}=71^{2}$

$3^{5}+11^{4}=122^{2}$

$33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}$

$1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}$

$9262^{3}+15312283^{2}=113^{7}$

$17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}$

$43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}$

Розв'язок $1^{m}+2^{3}=3^{2}$ — це єдиний розв'язок, у якому одне з $a,b,c$ дорівнює 1. У цьому полягає гіпотеза Каталана, доведена у 2006 році Михайлеску.

Всі розв'язки знайдено для трійок показників $m,n,k,$ рівних $(2,3,7),(n,n,n),(2,3,8),(2,3,9),(2,4,5),(2,4,6),(3,3,4),(3,3,5),(2,4,7),(2,n,n),(3,n,n),(2n,2n,5),(2,4,n)$.

Часткові результати

За теоремою Фальтингса для будь-яких фіксованих натуральних $m,n,k$, які задовольняють нерівності ${\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1$, існує не більше ніж скінченне число трійок $a,b,c$, що задовольняють рівнянню $a^{m}+b^{n}=c^{k}$,^{:p. 64} але гіпотеза Ферма — Каталана строгіша, оскільки стверджує скінченність числа розв'язків для нескінченної множини трійок $m,n,k$.

abc-гіпотеза тягне гіпотезу Ферма — Каталана.

Гіпотеза Біла полягає в тому, що всі розв'язки рівняння Ферма — Каталана мають один з показників рівний 2.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Fermat-Catalan Conjecture(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Література

• Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М. : «Альпина нон-фикшн», 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.